Ecuacion

No Comments »


En matemáticas, una ecuación es una igualdadnota 1 entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos oincógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser númeroscoeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
\overbrace{3x-1}^{\text{primer miembro}}=\overbrace{9+x}^{\text{segundo miembro}}
la variable x \, representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:
x = 5 \,
Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad.
De manera más general, una ecuación tendrá la forma
 \displaystyle F(a) = G(b)
donde F, G son operadores y a, b pueden ser valores numéricos, variables o funciones (en este último caso se tiene una ecuación funcional). Por ejemplo, la ecuación real (donde las incógnitas están sobre los números reales):
 \displaystyle \sin (x) = \cos (x)
tiene por soluciones o raíces el conjunto infinito de valores
 \displaystyle   x = \pi/4, 5\pi/4, 2\pi+\pi/4 , 2\pi+5\pi/4, 4\pi+\pi/4, ...

No Comments »


Leyes del álgebra elemental

No Comments »


Propiedades de las operaciones

  • La operación de multiplicación (×)
    • se escribe \, (a \times b)  ó \,( a \cdot b )
    • es conmutativa: \, (a \cdot b ) =  \, (b \cdot a)
    • es asociativa:  \, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
    • es abreviada por yuxtaposición:  a \cdot b \equiv ab
    • tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división \frac{(ab)}{b} = a , que es igual a multiplicar por el recíproco \frac{a}{b} = a \left(\frac{1}{b} \right)
    • tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación:  a \times 1 = a
    • es distributiva respecto la adición:  \, (a + b) \cdot c = ac + bc
  • La operación de potenciación
    • se escribe  \, a^{b}
    • es una multiplicación repetida:  a^{n} = a \times a \times \ldots \times a  (n veces)
    • no es ni comutativa ni asociativa: en general  \, a^{b}  \ne b^{a}  y  \, (a^{b})^{c} \ne a^{(b^{c})}
    • tiene una operación inversa, llamada logaritmo \, a^{log_{a} b}= b = log_{a} a^{b}
    • puede ser escrita en términos de raíz n-ésima:  \ a^{m/n} \equiv    (\sqrt[n]{a^{m}})  y por lo tanto las raíces pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema de números complejos)
    • es distributiva con respecto a la multiplicación:  \, (a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c}
    • tiene la propiedad:  \ {a^{b}} \cdot {a^{c}} = a^{b + c}
    • tiene la propiedad:  \, (a^{b})^{c} = a^{bc}

[editar]Orden de las operaciones

Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o precedencia de las operaciones. Primero se calcula los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas.

[editar]Propiedades de la igualdad

La relación de igualdad (=) es:

[editar]Leyes de la igualdad

La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:
  • si  \, a = b  y  \, c = d  entonces  \, a + c = b + d  y  \, ac = bd
  • si  \,a = b  entonces  \, a + c = b + c
  • si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro.
  • regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si  \, a + c  = b + c  entonces  \, a = b .
  • regularidad condicional de la multiplicación: si  \, a \cdot c  = b \cdot c  y  \, c  no es cero, entonces \, a = b  .

[editar]Leyes de la desigualdad

La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:
  • de transitividad: si  \, a < b  y  \, b < c  entonces  \, a  < c
  • si  \, a < b  y  \, c < d  entonces  \, a + c <  b + d
  • si  \, a < b  y  \, c > 0  entonces  \, ac <  bc
  • si  \, a < b  y  \, c < 0  entonces  \, bc  < ac

[editar]Regla de los signos

En el producto y en el cociente de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:

   \begin{cases}
      + \cdot -  = - \\
      + \cdot +  = + \\
      - \cdot -  = + \\
      - \cdot +  = -
   \end{cases}

Con la tecnología de Blogger.